Úloha sedmé harmonické složky při tvorbě diatonické řady tónů
1 Úvod
Ve dvacátém století byla hudebními akustiky věnována malá pozornost sedmé harmonické složce a jejímu vlivu na tvorbu tónových řad v přirozeném ladění. Při tom bylo zdůrazňováno, že měřítkem konsonance hudebních intervalů je vzájemný poměr kmitočtů, který je determinován malými celými čísly.
V polovině 20. století Adrian Daniel Fokker přichází s oživením známé hypotézy Ch. Huygense (1629 – 1695) a D. Eulera (1707 -1783) o úloze sedmé harmonické složky v diatonické řadě tónů. Z mnoha možností, které přicházejí v úvahu, vybírá Daniel Fokker dva intervaly. Je to jednak malá septima, která je dána poměrem 7 ku 4, doplňuje dominantní kvintakord na septakord, dále zvýrazňuje jeho dominantní funkci a často navozuje nástup tóniky. Poté je to interval malého přirozeného tritonu 7 ku 5, který doplněn velkým přirozeným tritonem 10 ku 7 uzavírá oktávu 2 ku 1.
Jak správně intonovat tyto intervaly, popisuje Fokker v knize Just Intonation and the Combination of Harmonic Diatonic Melodic Groups. Klademe si otázku, jaký interval vzniká mezi těmito dvěma tóny a jak tento interval zní.
2 Uvedení do problematiky
Bude pracováno ve dvou úrovních, které se budou navzájem prolínat.
- Jako výchozí budou vzaty relativní výšky určené poměrem kmitočtu a z nich bude vypočítána velikost nového intervalu v centech.
- S použitím relativních výšek budou určeny kmitočty tónů tak, aby bylo možné intervaly ozvučit, a vyslechnout jejich znění. Jako výchozí bude vzat kmitočet tónu c (malé c) 261,6 Hz.
- Výpočty budou uvedeny pouze pro interval malého tritonu, pracovně pojmenovaného tónem fis, a zúžené malé septimy, označené pracovně tónem hes.
2.1 Poznámka - Bibliografická citace (1)
Místo odčítání nebo sčítání relativních výšek tónů, je nutno v akustice vždy intervaly dělit nebo násobit, neboť pro vzájemnou polohu dvou tónů v řadě není rozhodující rozdíl frekvencí, nýbrž výhradně jejich podíl.
3 Vypracování
3.1 Interval malého tritonu
Malý triton c – fis je poměrově definován 7 ku 5
Velikost tritonu v centech (n) je
n = 3986 log 7/5 nebo n = 3986 log (7:5)
n = 582,4 centů
Kmitočet tónu fis je
261,6 × 7/5 = 366,2 Hz
3.2 Interval zúžené malé septimy
Zúžená malá septima c-hes je poměrově definována 7 ku 4
Velikost malé septimy v centech (n) je
n = 3986 log 7/4 nebo n = 3986 log (7 : 4)
n = 968,0 centů
Kmitočet tónu hes je
261,6 × 7/4 = 457,8 Hz
3.3 Velikost sledovaného intervalu v relativní výšce
Interval mezi tóny fis a hes je
7 ku 4 - 7 ku 5
7/4 : 7/5 = 35/28 = 5/4
5/4 je interval velké tercie
4 Nové intervaly v diatonické tónové řadě
Matematické výpočty velikosti hudebních intervalů jsou velmi jednoduché. Jejich uplatňování je mezi hudebníky nevědomě a emotivně dlouhodobě používáno. Důkazem toho je kniha Luďka Zenkla „Temperované a čisté ladění v evropské hudbě 19. a 20. století“, která se zabývá intonací s výškovou redukcí ve spojitosti s uplatněním sedmé harmonické složky. V současné době někteří sbormistři vedou zpěváky k tomu, aby malou septimu cíleně podlaďovali. Na diatonických harmonikách (heligonkách) vyráběných za prvé republiky byly dominantní kvintakordy, v levé ruce hrající doprovod, cílevědomě bez znalosti matematických výpočtů laděny s malou septimou 7 ku 4
(7 : 4).
Při uplatnění této septimy vznikne kvintakord, jehož malá tercie se stane „mollovější“ a velká tercie se stane „durovější“. O těchto dvou dalších intervalech se zmiňuje Adrian Daniel Fokker v knize „Musik mit 31 Tonen. V této rozsáhlé publikaci předepisuje A. D. Fokker v notových příkladech správnou intonaci hudby využívající frekvenční pole, ve kterém je oktáva rozdělena na 31 rovnoměrně temperovaných kroků o velikosti 38,71 centů. V tabulce kmitočtů to jsou:
Na sedmé pozici zúžená malá tercie 7 ku 6 (7 : 6) představující 266,87 centů.
Na jedenácté pozici rozšířená velká tercie 9 ku 7 (9 : 7) představující 435,12 centů.
Vzhledem k tomu, že centy jsou v lineární posloupnosti, můžeme obě velikosti intervalů sečíst, a obdržíme 702 centů, což je velikost přirozené čisté kvinty s relativní výškou 3 ku 2 (3 : 2).
7/6 × 9/7 = 63/42 = 3/2
Poznámka: zlomková čára je nahrazena lomítkem.
5 Závěr
Při současném znění přirozeného tritonu 7 ku 4, vztaženého k základnímu tónu, s malou septimou 7 ku 5, vztaženou k témuž tónu, bude znít velká tercie 5 ku 4.
Matematický důkaz:
7/4 - 7/5 = 5/4 7/4 : 7/5 = 5/4
5/4 je relativní výška velké tercie
V přirozené tónové řadě, postavené s uplatněním sedmé harmonické složky, znějí dále tyto intervaly:
Zúžená malá tercie 7 ku 6 (7 : 6) o velikosti 266,8 centů
Rozšířená velká tercie 9 ku 7 (9 : 7) o velikosti 435.1 centů.
Karel Irmann
Literatura
(1) ŠPELDA, A., 1953. Úvod do akustiky pro hudebníky, Státní nakladatelství krásné literatury, hudby a umění, s. 58.
(2) ZENKL, L., 1971. Temperované a čisté ladění v evropské hudbě 19. a 20. století, Státní pedagogické nakladatelství, Praha.
(3) SYROVÝ, V. 2003. Hudební akustika. Akademie múzických umění v Praze. ISBN 80-7331-901-2.
(4) PODOBSKÝ. J. 2005. Procházky akustikou, 2. část. MAFY Hradec Králové. ISBN 80-86148-75-0.
(5) FOKKER. A. D., 1949. Just Intonation and the Combination of Harmonic Melodic Groups, Martinus Nijhof, the Hague.
(6) FOKKER. A. D., 1966. Neue Musik mit 31 Tönen. Gesellschaft zur Förderung der Musikwissenschaft, Düsseldorf.
