28.04.2020 20:50

Cent deviations of historical uneven tempered tuning

In According to the cent deviations from the uniformly tempered tuning a¹ = 440 Hz, the frequencies of tones of historical uneven tempered J. S. Bach's tuning as per Kelletat have been determined. To determine the remoteness of two tones in a musical interval in cents, we multiply the logarithmic value of the ratio of their frequencies by a constant of 3986,3137.

f² = higher frequency

f¹ = lower frequency

The Bach-Kelletat's tuning interval network is part of the present report.

1. Úvod

Snahou mnoha vynikajících hudebníků a stavitelů klávesových hudebních nástrojů v 18. století bylo vyrovnání se se středotónovým systémem ladění a svými reformami se přiblížit k přirozeně ladícím intervalům. Významnou osobností v tomto směru se stal Johan Sebastian Bach.

V nedávné době se těmito reformami zabývalo mnoho hudebních teoretiků a badatelů do té hloubky, že dokladovali některé obměny Bachových nerovnoměrných temperatur, uplatňované v době baroka při stavbě píšťalových varhan. Jedním z badatelů byl profesor Herbert Kelletat. Výsledek jeho bádání uvádí profesor Václav Syrový ve své knížce Hudební akustika [1].

V tabulce Nerovnoměrně temperovaná ladění (odchylky od rovnoměrné temperatury) na str. 419, 420 předkládá společně s dalšími 105 hesly jméno Kelletat (1960). Herbert Kelletat dal firmě Wandel und Golterman k dispozici výsledek svého bádání jako numerické odchylky od rovnoměrně temperovaného ladění v centech. Tyto podklady sloužily firmě k stavbě elektronické ladičky, která byla v této nerovnoměrné temperatuře cejchována.

V dostupných podkladech nebylo Kelletatovo ladění dosud podrobeno dalšímu, hlubšímu rozboru. Tato práce tento rozbor předkládá.

2. Obecná pravidla

Hudební interval je odlehlost dvou tónů, jejichž výška je dána kmitočtem. Na školách je výklad často podán zjednodušenou definicí: „Hudební interval je vzdálenost mezi dvěma tóny“.

V literatuře je odlehlost tónů často definována zavedenou poměrovou jednotkou cent. Také odchylka od rovnoměrně temperovaného ladění je výhradně uváděna v centech. Velikost centu ovšem není odvozena od jednotky kmitočtu 1 Hz, ale je odvozena od půltónu, což je pojmenování běžně vžité v hudebním názvosloví.

Půltón je hudební označení, které můžeme matematicky definovat jako dvanáctá odmocnina ze dvou. Jeden cent je setina půltónu. Slovně definováno je cent dvanáctistá odmocnina ze dvou.

Matematicky vyjádřeno:

Vztah mezi kmitočty dvou tónů hudebního intervalu v Hz a poměrovým měřítkem intervalové vzdálenosti definovaným v centech je:

n = centy

f² = kmitočet vyššího tónu intervalu

f¹ = kmitočet nižšího tónu intervalu

Při zjišťování odlehlosti dvou tónů hudebního intervalu v centech vynásobíme logaritmus podílu jejich kmitočtu konstantou o hodnotě k = 3986,3137.

3. Vypracování

Tabulka 1 poskytuje informace o potřebných údajích, které musíme znát k tomu, abychom mohli vypracovat intervalovou síť pro historickou nerovnoměrnou temperaturu J. S. Bacha dle Herberta Kelletata.

Ve sloupci 1 jsou uvedeny názvy šestnácti tónů, s kterými budeme pracovat. Poloha a rozsah těchto tónů je položen přibližně do poloviny lidského slyšitelného rozsahu a zahrnuje výšku normalizovaného tónu a¹ = 440 Hz. Ve sloupci 2 jsou od tohoto tónu za pomoci kvocientu geometrické posloupnosti g = 1,05946 odvozeny kmitočty všech dalších patnácti tónů.

1	2	3	4	5
Tón	Kmitočet rovnoměrně temperovaně	0dchylka Kelletat centy	Kmitočet Kelletat Hz	Logaritmus kmitočtu Kelletat
a	220,00	0	220,00	2,3424227
ais	233,08	+4	233,62	2,3685100
h	246,94	-6	246,09	2,3910940
c¹	261,63	+8	262,84	2,4196915
cis¹	277,18	-2	276,86	2,4422602
d¹	293,66	+4	294,34	2,4688493
dis¹	311,13	+2	311,49	2,4934441
e¹	329,63	-5	328,68	2,5167733
f¹	349,23	+6	350,44	2,5446137
fis¹	369,99	-4	369,14	2,5671911
g¹	392,00	+8	393,81	2,5952867
gis¹	415,30	0	415,30	2,6183619
a¹	440,00	0	440,00	2,6434537
ais¹	466,16	+4	467,24	2,6695400
h¹	492,88	-6	492,17	2,6921151
c²	523,25	+8	525,67	2,7207132

Tabulka 1: Převod kmitočtů do ladění Kelletat

Abychom se udrželi v požadovaném tónovém rozsahu, vracíme se o oktávu níže tak, že přesahující kmitočet dělíme dvěma. Všechny kmitočty uvedené v tomto sloupci, jsou v rovnoměrně temperovaném ladění.

Ve sloupci 3 jsou uvedeny odchylky pro ladění dle Kelletata, jak je uvádí Václav Syrový ve zmíněné publikaci [1]. Dle těchto odchylek byly tabulkově vyhledány kmitočty tónů příslušejících do systému nerovnoměrně temperovaného ladění. Jsou uvedeny ve sloupci 4. Ve sloupci 5 jsou uvedeny logaritmy kmitočtu tónů nerovnoměrně temperovaného ladění dle Kelletata.

Nosnou částí této zprávy je intervalová síť. Každé okénko tabulky 2 obsahuje dva údaje. Údaj hudební, tedy název tónu, a údaj směřující do oblasti hudební akustiky.

V prvním sloupci tabulky 2 je uveden název tónu a frekvence nižšího tónu, od kterého se interval tvoří. Je to dvanáct tónů jednočárkované oktávy začínajících tónem c¹. Hodnoty kmitočtu jsou převzaty ze čtvrtého sloupce tabulky 1. Kmitočet (frekvence) je uveden v Hz. Pouze ve sloupci 1 jsou údaje v Hz. Všechny ostatní údaje jsou v centech. V dalších svislých sloupcích jsou v záhlaví uvedeny názvy intervalů. Na průsečíku svislého sloupce a vodorovné řádky odčítáme hledanou hodnotu odlehlosti vrchního tónu intervalu v centech.

Informativní hodnota intervalové sítě je vysoká. Je objektivním dokladem vzájemné vzdálenosti obou tónů intervalu. Zároveň vypovídá o rozdílu velikosti nejen proti ladění rovnoměrně temperovanému, ale i proti ladění přirozenému. Vypovídá hodně o průběhu čisté kvinty a velké tercie. Průběh těchto dvou intervalů se v různých historických obdobích výrazně měnil.

Tabulka 2: Intervalová síť, velikost jednotlivých intervalů v centech. Ladění Bach dle Kelletáta

1	2	3	4	5	6	7	8	9
Frekvence tón	Velká sekunda	Malá tercie	Velká tercie	Čistá kvarta	Čistá kvinta	Malá sexta	Velká sexta	Malá septima
262,84 c¹	196 d¹	294 dis¹	387 e¹	498 f¹	700 g¹	792 gis¹	892 a¹	996 ais¹
275,86 cis¹	204 dis¹	297 e¹	408 f¹	498 fis¹	702 gis¹	802 a¹	906 ais¹	996 h¹
294,34 d¹	191 e¹	302 f¹	392 fis¹	504 g¹	696 a¹	800 ais¹	890 h¹	1004 c²
311,49 dis¹	204 f¹	294 fis¹	406 g¹	498 gis¹	702 ais¹	792 h¹	906 c²	996 cis²
328,48 e¹	201 fis¹	313 g¹	405 gis¹	504 a¹	699 h¹	813 c²	903 cis²	1009 d²
350,44 f¹	202 g²	294 gis¹	394 a¹	498 ais¹	702 c²	792 cis²	898 d²	996 dis²
369,14 fis¹	204 gis¹	304 a¹	408 ais¹	498 h¹	702 cis²	808 d²	906 dis²	999 e²
393,81 g¹	192 a¹	296 ais¹	386 h¹	500 c²	696 d²	794 dis²	887 e²	998 f²
415,30 gis1	204 ais¹	294 h¹	408 c²	498 cis²	702 dis²	795 e²	906 f²	996 fis²
440 a¹	194 h¹	308 c²	398 cis²	504 d²	696 e²	806 f²	896 fis²	1008 g²
467,24 ais¹	204 c²	294 cis²	400 d²	498 dis²	702 f²	792 fis²	904 g²	996 gis²
492,17 h¹	204 cis²	310 d²	408 dis²	501 e²	702 fis²	814 g²	906 gis²	1006 a²
V čistém přírodním ladění	203,9	315,6	386,3	498,0	702,0	813,7	884,0	996,1
V rovno-měrně temper.	200	300	400	500	700	800	900	1000

Odlehlost tónů definovaná centy.

Motto : Řekni mi, ty svéhlavá věci,…….do kterého kouta ve tvých útrobách zalezla čistá škála? Či se chceš vzepřít svému mistrovi a tvrdit, že jeho sluch byl na smrt utlučen v kovárně rovnoměrné temperatury…..?

F. T. a. Hofmann, Životní názory kocoura Moura

4. Závěr

Vypracováním intervalové sítě pro ladění J. S. Bacha dle Herberta Kelletata je dán podklad pro možnost posouzení shody mezi subjektivním vnímáním hudebních intervalů v tomto ladění a objektivními akustickými podklady.

Reference

[1] Syrový, V.: Hudební akustika, Akademie múzických umění v Praze, ISBN 80-7331-901-2, 2003.

[2] Podobský, J.: Procházky akustikou 2. Část, MAFY Hrades Králové, ISBN 80-86148-75-0, s. 28, 2005.

[3] Meier, E.: Historische Temperaturen, Jesteten, Marc Vogel, 1995.

[4] Kelletat, H.: Ein Beitrag zur musikalischen Temperatur vom Mittelalter bis zur Gegenwart. Herausgegeben von Wandel und Goltermann, Reutlingen, 1966.

[5] Irmann. K.: MAP 2013 Nové trendy akustického spektra, Dvanáct čistých kvint v Bachově nerovnoměrném ladění, 2013.

Koukal, P.: Dobře rozladěné varhany, Národní památkový ústav, Telč, 2013.