Odlehlost tónů v intervalech historického nerovnoměrně temperovaného ladění definovaná v centech
Cent deviations of historical uneven tempered tuning
In According to the cent deviations from the uniformly tempered tuning a1 = 440 Hz, the frequencies of tones of historical uneven tempered J. S. Bach's tuning as per Kelletat have been determined. To determine the remoteness of two tones in a musical interval in cents, we multiply the logarithmic value of the ratio of their frequencies by a constant of 3986,3137.
f2 = higher frequency
f1 = lower frequency
The Bach-Kelletat's tuning interval network is part of the present report.
1. Úvod
Snahou mnoha vynikajících hudebníků a stavitelů klávesových hudebních nástrojů v 18. století bylo vyrovnání se se středotónovým systémem ladění a svými reformami se přiblížit k přirozeně ladícím intervalům. Významnou osobností v tomto směru se stal Johan Sebastian Bach.
V nedávné době se těmito reformami zabývalo mnoho hudebních teoretiků a badatelů do té hloubky, že dokladovali některé obměny Bachových nerovnoměrných temperatur, uplatňované v době baroka při stavbě píšťalových varhan. Jedním z badatelů byl profesor Herbert Kelletat. Výsledek jeho bádání uvádí profesor Václav Syrový ve své knížce Hudební akustika [1].
V tabulce Nerovnoměrně temperovaná ladění (odchylky od rovnoměrné temperatury) na str. 419, 420 předkládá společně s dalšími 105 hesly jméno Kelletat (1960). Herbert Kelletat dal firmě Wandel und Golterman k dispozici výsledek svého bádání jako numerické odchylky od rovnoměrně temperovaného ladění v centech. Tyto podklady sloužily firmě k stavbě elektronické ladičky, která byla v této nerovnoměrné temperatuře cejchována.
V dostupných podkladech nebylo Kelletatovo ladění dosud podrobeno dalšímu, hlubšímu rozboru. Tato práce tento rozbor předkládá.
2. Obecná pravidla
Hudební interval je odlehlost dvou tónů, jejichž výška je dána kmitočtem. Na školách je výklad často podán zjednodušenou definicí: „Hudební interval je vzdálenost mezi dvěma tóny“.
V literatuře je odlehlost tónů často definována zavedenou poměrovou jednotkou cent. Také odchylka od rovnoměrně temperovaného ladění je výhradně uváděna v centech. Velikost centu ovšem není odvozena od jednotky kmitočtu 1 Hz, ale je odvozena od půltónu, což je pojmenování běžně vžité v hudebním názvosloví.
Půltón je hudební označení, které můžeme matematicky definovat jako dvanáctá odmocnina ze dvou. Jeden cent je setina půltónu. Slovně definováno je cent dvanáctistá odmocnina ze dvou.
Matematicky vyjádřeno:
Vztah mezi kmitočty dvou tónů hudebního intervalu v Hz a poměrovým měřítkem intervalové vzdálenosti definovaným v centech je:
n = centy
f2 = kmitočet vyššího tónu intervalu
f1 = kmitočet nižšího tónu intervalu
Při zjišťování odlehlosti dvou tónů hudebního intervalu v centech vynásobíme logaritmus podílu jejich kmitočtu konstantou o hodnotě k = 3986,3137.
3. Vypracování
Tabulka 1 poskytuje informace o potřebných údajích, které musíme znát k tomu, abychom mohli vypracovat intervalovou síť pro historickou nerovnoměrnou temperaturu J. S. Bacha dle Herberta Kelletata.
Ve sloupci 1 jsou uvedeny názvy šestnácti tónů, s kterými budeme pracovat. Poloha a rozsah těchto tónů je položen přibližně do poloviny lidského slyšitelného rozsahu a zahrnuje výšku normalizovaného tónu a1 = 440 Hz. Ve sloupci 2 jsou od tohoto tónu za pomoci kvocientu geometrické posloupnosti g = 1,05946 odvozeny kmitočty všech dalších patnácti tónů.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Tón |
Kmitočet |
0dchylka Kelletat centy |
Kmitočet Kelletat Hz |
Logaritmus kmitočtu Kelletat |
a |
220,00 |
0 |
220,00 |
2,3424227 |
ais |
233,08 |
+4 |
233,62 |
2,3685100 |
h |
246,94 |
-6 |
246,09 |
2,3910940 |
c1 |
261,63 |
+8 |
262,84 |
2,4196915 |
cis1 |
277,18 |
-2 |
276,86 |
2,4422602 |
d1 |
293,66 |
+4 |
294,34 |
2,4688493 |
dis1 |
311,13 |
+2 |
311,49 |
2,4934441 |
e1 |
329,63 |
-5 |
328,68 |
2,5167733 |
f1 |
349,23 |
+6 |
350,44 |
2,5446137 |
fis1 |
369,99 |
-4 |
369,14 |
2,5671911 |
g1 |
392,00 |
+8 |
393,81 |
2,5952867 |
gis1 |
415,30 |
0 |
415,30 |
2,6183619 |
a1 |
440,00 |
0 |
440,00 |
2,6434537 |
ais1 |
466,16 |
+4 |
467,24 |
2,6695400 |
h1 |
492,88 |
-6 |
492,17 |
2,6921151 |
c2 |
523,25 |
+8 |
525,67 |
2,7207132 |
Tabulka 1: Převod kmitočtů do ladění Kelletat
Abychom se udrželi v požadovaném tónovém rozsahu, vracíme se o oktávu níže tak, že přesahující kmitočet dělíme dvěma. Všechny kmitočty uvedené v tomto sloupci, jsou v rovnoměrně temperovaném ladění.
Ve sloupci 3 jsou uvedeny odchylky pro ladění dle Kelletata, jak je uvádí Václav Syrový ve zmíněné publikaci [1]. Dle těchto odchylek byly tabulkově vyhledány kmitočty tónů příslušejících do systému nerovnoměrně temperovaného ladění. Jsou uvedeny ve sloupci 4. Ve sloupci 5 jsou uvedeny logaritmy kmitočtu tónů nerovnoměrně temperovaného ladění dle Kelletata.
Nosnou částí této zprávy je intervalová síť. Každé okénko tabulky 2 obsahuje dva údaje. Údaj hudební, tedy název tónu, a údaj směřující do oblasti hudební akustiky.
V prvním sloupci tabulky 2 je uveden název tónu a frekvence nižšího tónu, od kterého se interval tvoří. Je to dvanáct tónů jednočárkované oktávy začínajících tónem c1. Hodnoty kmitočtu jsou převzaty ze čtvrtého sloupce tabulky 1. Kmitočet (frekvence) je uveden v Hz. Pouze ve sloupci 1 jsou údaje v Hz. Všechny ostatní údaje jsou v centech. V dalších svislých sloupcích jsou v záhlaví uvedeny názvy intervalů. Na průsečíku svislého sloupce a vodorovné řádky odčítáme hledanou hodnotu odlehlosti vrchního tónu intervalu v centech.
Informativní hodnota intervalové sítě je vysoká. Je objektivním dokladem vzájemné vzdálenosti obou tónů intervalu. Zároveň vypovídá o rozdílu velikosti nejen proti ladění rovnoměrně temperovanému, ale i proti ladění přirozenému. Vypovídá hodně o průběhu čisté kvinty a velké tercie. Průběh těchto dvou intervalů se v různých historických obdobích výrazně měnil.
Tabulka 2: Intervalová síť, velikost jednotlivých intervalů v centech. Ladění Bach dle Kelletáta
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Frekvence |
Velká |
Malá |
Velká |
Čistá |
Čistá |
Malá sexta |
Velká sexta |
Malá |
262,84 |
196 |
294 |
387 |
498 |
700 |
792 |
892 |
996 |
275,86 cis1 |
204 |
297 |
408 |
498 |
702 |
802 |
906 |
996 |
294,34 |
191 |
302 |
392 |
504 |
696 |
800 ais1 |
890 |
1004 |
311,49 dis1 |
204 |
294 |
406 |
498 gis1 |
702 |
792 |
906 |
996 |
328,48 e1 |
201 fis1 |
313 |
405 |
504 |
699 |
813 |
903 cis2 |
1009 |
350,44 |
202 |
294 gis1 |
394 |
498 |
702 |
792 |
898 |
996 |
369,14 fis1 |
204 |
304 |
408 |
498 |
702 |
808 |
906 |
999 |
393,81 g1 |
192 |
296 |
386 |
500 |
696 |
794 |
887 |
998 f2 |
415,30 |
204 ais1 |
294 |
408 c2 |
498 cis2 |
702 dis2 |
795 |
906 |
996 |
440 a1 |
194 h1 |
308 c2 |
398 cis2 |
504 d2 |
696 e2 |
806 f2 |
896 |
1008 |
467,24 ais1 |
204 |
294 cis2 |
400 d2 |
498 dis2 |
702 |
792 |
904 |
996 gis2 |
492,17 |
204 cis2 |
310 d2 |
408 dis2 |
501 |
702 |
814 g2 |
906 gis2 |
1006 |
V čistém přírodním ladění |
203,9 |
315,6 |
386,3 |
498,0 |
702,0 |
813,7 |
884,0 |
996,1 |
V rovno-měrně temper. |
200 |
300 |
400 |
500 |
700 |
800 |
900 |
1000 |
Odlehlost tónů definovaná centy.
Motto : Řekni mi, ty svéhlavá věci,…….do kterého kouta ve tvých útrobách zalezla čistá škála? Či se chceš vzepřít svému mistrovi a tvrdit, že jeho sluch byl na smrt utlučen v kovárně rovnoměrné temperatury…..?
F. T. a. Hofmann, Životní názory kocoura Moura
4. Závěr
Vypracováním intervalové sítě pro ladění J. S. Bacha dle Herberta Kelletata je dán podklad pro možnost posouzení shody mezi subjektivním vnímáním hudebních intervalů v tomto ladění a objektivními akustickými podklady.
Reference
[1] Syrový, V.: Hudební akustika, Akademie múzických umění v Praze, ISBN 80-7331-901-2, 2003.
[2] Podobský, J.: Procházky akustikou 2. Část, MAFY Hrades Králové, ISBN 80-86148-75-0, s. 28, 2005.
[3] Meier, E.: Historische Temperaturen, Jesteten, Marc Vogel, 1995.
[4] Kelletat, H.: Ein Beitrag zur musikalischen Temperatur vom Mittelalter bis zur Gegenwart. Herausgegeben von Wandel und Goltermann, Reutlingen, 1966.
[5] Irmann. K.: MAP 2013 Nové trendy akustického spektra, Dvanáct čistých kvint v Bachově nerovnoměrném ladění, 2013.
Koukal, P.: Dobře rozladěné varhany, Národní památkový ústav, Telč, 2013.