Odlehlost tónů v intervalech historického nerovnoměrně temperovaného ladění definovaná v centech

Cent deviations of historical uneven tempered tuning

In According to the cent deviations from the uniformly tempered tuning a1 = 440 Hz, the frequencies of tones of historical uneven tempered J. S. Bach's tuning as per Kelletat have been determined. To determine the remoteness of two tones in a musical interval in cents, we multiply the logarithmic value of the ratio of their frequencies by a constant of 3986,3137.

f2 = higher frequency

f1 = lower frequency

The Bach-Kelletat's tuning interval network is part of the present report.

1. Úvod

Snahou mnoha vynikajících hudebníků a stavitelů klávesových hudebních nástrojů v 18. století bylo vyrovnání se se středotónovým systémem ladění a svými reformami se přiblížit k přirozeně ladícím intervalům. Významnou osobností v tomto směru se stal Johan Sebastian Bach.

V nedávné době se těmito reformami zabývalo mnoho hudebních teoretiků a badatelů do té hloubky, že dokladovali některé obměny Bachových nerovnoměrných temperatur, uplatňované v době baroka při stavbě píšťalových varhan. Jedním z badatelů byl profesor Herbert Kelletat. Výsledek jeho bádání uvádí profesor Václav Syrový ve své knížce Hudební akustika [1].

V tabulce Nerovnoměrně temperovaná ladění (odchylky od rovnoměrné temperatury) na str. 419, 420 předkládá společně s dalšími 105 hesly jméno Kelletat (1960). Herbert Kelletat dal firmě Wandel und Golterman k dispozici výsledek svého bádání jako numerické odchylky od rovnoměrně temperovaného ladění v centech. Tyto podklady sloužily firmě k stavbě elektronické ladičky, která byla v této nerovnoměrné temperatuře cejchována.

V dostupných podkladech nebylo Kelletatovo ladění dosud podrobeno dalšímu, hlubšímu rozboru. Tato práce tento rozbor předkládá.

2. Obecná pravidla

Hudební interval je odlehlost dvou tónů, jejichž výška je dána kmitočtem. Na školách je výklad často podán zjednodušenou definicí: „Hudební interval je vzdálenost mezi dvěma tóny“.

V literatuře je odlehlost tónů často definována zavedenou poměrovou jednotkou cent. Také odchylka od rovnoměrně temperovaného ladění je výhradně uváděna v centech. Velikost centu ovšem není odvozena od jednotky kmitočtu 1 Hz, ale je odvozena od půltónu, což je pojmenování běžně vžité v hudebním názvosloví.

Půltón je hudební označení, které můžeme matematicky definovat jako dvanáctá odmocnina ze dvou. Jeden cent je setina půltónu. Slovně definováno je cent dvanáctistá odmocnina ze dvou.

Matematicky vyjádřeno:

 

Vztah mezi kmitočty dvou tónů hudebního intervalu v Hz a poměrovým měřítkem intervalové vzdálenosti definovaným v centech je:

n = centy    

f2 = kmitočet vyššího tónu intervalu    

f1 = kmitočet nižšího tónu intervalu

Při zjišťování odlehlosti dvou tónů hudebního intervalu v centech vynásobíme logaritmus podílu jejich kmitočtu konstantou o hodnotě k = 3986,3137. 

3. Vypracování

Tabulka 1 poskytuje informace o potřebných údajích, které musíme znát k tomu, abychom mohli vypracovat intervalovou síť pro historickou nerovnoměrnou temperaturu J. S. Bacha dle Herberta Kelletata.

      Ve sloupci 1 jsou uvedeny názvy šestnácti tónů, s kterými budeme pracovat. Poloha a rozsah těchto tónů je položen přibližně do poloviny lidského slyšitelného rozsahu a zahrnuje výšku normalizovaného tónu a1 = 440 Hz. Ve sloupci 2 jsou od tohoto tónu za pomoci kvocientu geometrické posloupnosti g = 1,05946 odvozeny kmitočty všech dalších patnácti tónů.

 

1

2

3

4

5

Tón

Kmitočet
rovnoměrně temperovaně

0dchylka Kelletat centy

Kmitočet Kelletat Hz

Logaritmus kmitočtu Kelletat

a                 

220,00

0

220,00

2,3424227

ais

233,08

+4

233,62

2,3685100

h

246,94

-6

246,09

2,3910940

c1

261,63

+8

262,84

2,4196915

cis1

277,18

-2

276,86

2,4422602

d1

293,66

+4

294,34

2,4688493

dis1

311,13

+2

311,49

2,4934441

e1

329,63

-5

328,68

2,5167733

f1

349,23

+6

350,44

2,5446137

fis1

369,99

-4

369,14

2,5671911

g1

392,00

+8

393,81

2,5952867

gis1

415,30

0

415,30

2,6183619

a1

440,00

0

440,00

2,6434537

ais1

466,16

+4

467,24

2,6695400

h1

492,88

-6

492,17

2,6921151

c2

523,25

+8

525,67

2,7207132

Tabulka 1: Převod kmitočtů do ladění Kelletat

Abychom se udrželi v požadovaném tónovém rozsahu, vracíme se o oktávu níže tak, že přesahující kmitočet dělíme dvěma. Všechny kmitočty uvedené v tomto sloupci, jsou v rovnoměrně temperovaném ladění.

Ve sloupci 3 jsou uvedeny odchylky pro ladění dle Kelletata, jak je uvádí Václav Syrový ve zmíněné publikaci [1]. Dle těchto odchylek byly tabulkově vyhledány kmitočty tónů příslušejících do systému nerovnoměrně temperovaného ladění. Jsou uvedeny ve sloupci 4. Ve sloupci 5 jsou uvedeny logaritmy kmitočtu tónů nerovnoměrně temperovaného ladění dle Kelletata.

Nosnou částí této zprávy je intervalová síť. Každé okénko tabulky 2 obsahuje dva údaje. Údaj hudební, tedy název tónu, a údaj směřující do oblasti hudební akustiky.

V prvním sloupci tabulky 2 je uveden název tónu a frekvence nižšího tónu, od kterého se interval tvoří. Je to dvanáct tónů jednočárkované oktávy začínajících tónem c1. Hodnoty kmitočtu jsou převzaty ze čtvrtého sloupce tabulky 1. Kmitočet (frekvence) je uveden v Hz. Pouze ve sloupci 1 jsou údaje v Hz. Všechny ostatní údaje jsou v centech. V dalších svislých sloupcích jsou v záhlaví uvedeny názvy intervalů. Na průsečíku svislého sloupce a vodorovné řádky odčítáme hledanou hodnotu odlehlosti vrchního tónu intervalu v centech.

Informativní hodnota intervalové sítě je vysoká. Je objektivním dokladem vzájemné vzdálenosti obou tónů intervalu. Zároveň vypovídá o rozdílu velikosti nejen proti ladění rovnoměrně temperovanému, ale i proti ladění přirozenému. Vypovídá hodně o průběhu čisté kvinty a velké tercie. Průběh těchto dvou intervalů se v různých historických obdobích výrazně měnil.

Tabulka 2: Intervalová síť, velikost jednotlivých intervalů v centech. Ladění Bach dle Kelletáta

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Frekvence
tón

Velká 
sekunda

Malá 
tercie

Velká 
tercie

Čistá 
kvarta

Čistá
kvinta

Malá sexta

Velká sexta

Malá
septima

262,84
c1

196
d1

294
dis1

387
e1

498
f1

700
g1

792 
gis1

892    
a1

996 
ais1

275,86  cis1

204 
dis1

297    
e1

408     
f1

498  
fis1

702 
 gis1

802    
a1

906  
ais1

996    
h1

294,34 
d1

191     
e1

302    
f1

392   
fis1

504     
g1

696    
a1

800     ais1

890    
h1

1004  
c2

311,49     dis1

204    
 f1

294  
fis1

406     
g1

498     gis1

702  
ais1

792    
h1

906     
c2

996  
cis2

328,48       e1

201     fis1

313    
 g1

405  
gis1

504
a1

699
h1

813     
c2

903    cis2

1009   
d2

350,44   
f1

202    
g2

294    gis1

394     
a1

498  
ais1

702    
c2

792  
cis2

898     
d2

996  
dis2

369,14   fis1

204  
gis1

304    
a1

408  
ais1

498    
h1

702 
 cis2

808     
d2

906  
dis2

999     
e2

393,81     g1

192     
a1

296  
ais1

386    
 h1

500
c2

696
d2

794  
dis2

887    
 e2

998       f2

415,30
gis1

204       ais1

294    
h1

408       c2

498    cis2

702     dis2

795     
e2

906    
f2

996   
fis2

440          a1

194       h1

308       c2

398    cis2

504       d2

696       e2

806       f2

896   
fis2

1008   
g2

467,24    ais1

204  
c2

294    cis2

400       d2

498     dis2

702     
f2

792   
fis2

904     
g2

996     gis2

492,17
h1

204    cis2

310       d2

408     dis2

501
e2

702
fis2

814       g2

906     gis2

1006   
a2

V čistém přírodním ladění

203,9

315,6

386,3

498,0

702,0

813,7

884,0

996,1

V rovno-měrně temper.

200

300

400

500

700

800

900

1000

Odlehlost tónů definovaná centy.

Motto : Řekni mi, ty svéhlavá věci,…….do kterého kouta ve tvých útrobách zalezla čistá škála? Či se chceš vzepřít svému mistrovi a tvrdit, že jeho sluch byl na smrt utlučen v kovárně rovnoměrné temperatury…..?                      

F. T. a. Hofmann, Životní názory kocoura Moura

4. Závěr

Vypracováním intervalové sítě pro ladění J. S. Bacha dle Herberta Kelletata je dán podklad pro možnost posouzení shody mezi subjektivním vnímáním hudebních intervalů v tomto ladění a objektivními akustickými podklady.

Reference

[1]        Syrový, V.: Hudební akustika, Akademie múzických umění v Praze, ISBN 80-7331-901-2, 2003.

[2]        Podobský, J.: Procházky akustikou 2. Část, MAFY Hrades Králové, ISBN 80-86148-75-0, s. 28, 2005.

[3]        Meier, E.: Historische Temperaturen, Jesteten, Marc Vogel, 1995.

[4]        Kelletat, H.: Ein Beitrag zur musikalischen Temperatur vom Mittelalter bis zur Gegenwart. Herausgegeben von Wandel und Goltermann, Reutlingen, 1966.

[5]        Irmann. K.: MAP 2013 Nové trendy akustického spektra, Dvanáct čistých kvint v Bachově nerovnoměrném ladění, 2013.

Koukal, P.: Dobře rozladěné varhany, Národní památkový ústav, Telč, 2013.